Carrera académica
Por Real Orden de 12 de enero de 1920 fue nombrado auxiliar de la Facultad de Derecho de la Universidad de Salamanca. Tomó posesión el 24 de enero de 1920.
Por Real Orden de 16 de octubre de 1920 fue encargado del desempeño de la cátedra de Derecho Civil de la Universidad de Salamanca. Ejerció estas funciones hasta el 24 de marzo de 1926.
Mediante Real Orden de 6 de julio de 1920 fue confirmado en su condición de auxiliar de la Facultad de Derecho de la Universidad de Salamanca.
En virtud de Real Orden de 29 de marzo de 1924 fue prorrogado por cuatro años más su nombramiento de auxiliar de la Facultad de Derecho de la Universidad de Salamanca. Tomó posesión el 1 de abril de 1924.
En 1920 realizó los ejercicios de unas oposiciones convocadas para proveer las cátedras de Derecho Civil de las Universidades de Zaragoza, Murcia y Oviedo, obteniendo un voto.
En el mes de noviembre de 1925 efectuó sin éxito los ejercicios de otras oposiciones convocadas para la provisión de la cátedra de Derecho Civil de la Sección de Estudios Universitarios de La Laguna.
El mismo año de 1925 se anunciaron oposiciones para proveer las cátedras de Instituciones de Derecho Romano de la Universidad de Santiago y de la Sección de Estudios Universitarios de La Laguna. Madruga y otros cuatro aspirantes más fueron admitidos a tomar parte en las oposiciones. El tribunal estaba integrado por Felipe Clemente de Diego, como presidente, y como vocales Wenceslao Roces, José Ferrández González, José Pou de Foxá, catedráticos de Derecho Romano de las Universidades de Salamanca, Valladolid y Barcelona, respectivamente, y Jerónimo González Martínez, nombrado por su condición de “oficial de la Dirección de los Registros y publicista”. Comparecieron cuatro opositores a realizar los ejercicios, que comenzaron el 25 de enero de 1926. Uno de ellos, José Rodríguez Febles, se retiró después del primer ejercicio, y otro, Francisco de Pelsmaeker, lo hizo durante el segundo ejercicio. La votación del tribunal tuvo lugar el 4 de junio de 1926. El primer lugar fue adjudicado a José Arias Ramos, y Madruga obtuvo el segundo puesto por unanimidad del tribunal. Dado que Arias Ramos eligió la cátedra de la Universidad de Santiago, Madruga fue propuesto para la cátedra de la Sección de Estudios Universitarios de La Laguna.
De esta forma Madruga fue nombrado, por Real Orden de 10 de febrero de 1926, catedrático de Instituciones de Derecho Romano de la Sección de Estudios Universitarios de La Laguna. Tomó posesión el 24 de marzo de 1926. Se le expidió el título de catedrático el 6 de julio de 1926.
El 18 de julio de 1926 presentó instancia solicitando participar en el concurso de traslado convocado para cubrir la cátedra de Procedimientos judiciales y Práctica forense de la Universidad de Salamanca. Pero la Real Orden de 5 de julio de 1926 denegó la admisión de Madruga por no haber desempeñado una cátedra de Procedimientos judiciales y Práctica forense en las condiciones que exigía la ley para obtener el nombramiento mediante concurso de traslado.
El 18 de agosto de 1926 presentó instancia solicitando participar en el concurso de traslado convocado para la provisión de la cátedra de Derecho Civil español, común y foral, de la Universidad de Salamanca. Optaba a la misma cátedra Nicolás de los Santos de Otto Escudero. La cátedra en disputa se adjudicó a Madruga, quien fue nombrado, por Real Orden de 25 de octubre de 1926, catedrático de Derecho Civil español, común y foral, de la Universidad de Salamanca. Tomó posesión el 1 de noviembre de 1926.
Por Real Orden de 2 de octubre de 1930 fue nombrado Vicerrector de la Universidad de Salamanca. Cesó en el cargo en 1936, al ser nombrado Rector de la misma Universidad.
El 12 de octubre de 1936 tuvo lugar en el Paraninfo de la Universidad de Salamanca el célebre y grave enfrentamiento entre don Miguel de Unamuno y el general Millán Astray. Dos días después, el 14 de octubre de 1936, el Claustro de la Universidad de Salamanca propuso a Franco la destitución de Unamuno de su cargo de Rector y pidió que Madruga lo sustituyera. Concretamente, el acta de esa sesión dice lo siguiente: “En sesión celebrada en el día de hoy por el Claustro de esta Universidad fue aprobada por unanimidad la siguiente moción sometida a su deliberación: ‘El Claustro de la Universidad de Salamanca, al retirar por unanimidad la confianza a su actual Rector, considera el cargo como vacante, y usando de su facultad de presentar las autoridades académicas, propone al Alto Mando para el cargo de Rector de esta Universidad al Catedrático D. Esteban Madruga y Jiménez’. En Salamanca a catorce de octubre de mil novecientos treinta y seis”.
Mediante sendos Decretos de 22 de octubre de 1936, Franco cesó a Unamuno y nombró a Madruga Rector de la Universidad de Salamanca. Madruga tomó posesión el 30 de octubre de 1936. Fue cesado por Decreto de 28 de septiembre de 1951.
La Orden de 27 de mayo de 1946 lo autorizó para trasladarse a Coimbra desde el 7 hasta el 12 de junio a fin participar en un homenaje en memoria de Eugenio de Costa.
La Orden de 3 de febrero de 1948 lo autorizó a trasladarse en misión cultural a Bolonia por 20 días.
Igualmente la Orden de 4 de mayo de 1951 lo autorizaba a desplazarse a Perú.
Por Orden de 10 de noviembre de 1956 fue nombrado Decano de la Facultad de Derecho de la misma Universidad. La Orden de 23 de noviembre de 1959 lo confirmó en ese cargo.
El 29 de noviembre de 1960 la Junta de la Facultad de Derecho acordó solicitar a la Superioridad la continuación de Madruga en su función docente como catedrático durante el curso 1960-1961, a pesar de haber cumplido el día anterior los setenta años, edad prevista para la jubilación. La Junta de la Facultad también pedía que Madruga permaneciera al frente del Decanato hasta le expiración del plazo de tres años para el que había sido nombrado.
No obstante, Madruga fue jubilado el 28 de noviembre de 1960, cesando también en el cargo de Decano, aunque la Orden de 7 de diciembre de ese año lo autorizó para que continuara desempeñando la cátedra hasta la terminación del curso académico, pero sin percibir retribución por ese servicio.
Por Real Orden de 4 de diciembre de 1964 fue nombrado Decano Honorario de la Facultad de Derecho de la Universidad de Salamanca.
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